微分積分例

$\tan (e^{x}) + e^{\tan (x)}$

ステップ 1

総和則では、 $\tan (e^{x}) + e^{\tan (x)}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan (e^{x})] + \frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\tan (e^{x})] + \frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\tan (e^{x})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$\sec^{2} (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\sec^{2} (e^{x}) e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [e^{\tan (x)}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (x)$ とします。

$\sec^{2} (e^{x}) e^{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\sec^{2} (e^{x}) e^{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$\sec^{2} (e^{x}) e^{x} + e^{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (e^{x}) e^{x} + e^{\tan (x)} \sec^{2} (x)$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$e^{x} \sec^{2} (e^{x}) + e^{\tan (x)} \sec^{2} (x)$

微分積分 例