微分積分例

$\tan (x) (4 \sin (x) + 5 \cos (x))$

ステップ 1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\tan (x) \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 5 \cos (x)] + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ です。

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sin (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\tan (x) (4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\tan (x) (4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \cos (x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 (- \sin (x))) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 6

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 7

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 8.3

$4$ を $\tan (x)$ の左に移動させます。

$4 \tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 8.4

項を並べ替えます。

$4 \cos (x) \tan (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1.1

括弧を付けます。

$4 (\cos (x) \tan (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.1.2

$\cos (x)$ と $\tan (x)$ を並べ替えます。

$4 (\tan (x) \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.1.3

正弦と余弦に関して $4 \cos (x) \tan (x)$ を書き換えます。

$4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.1.4

共通因数を約分します。

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.3

$- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $- 5$ をまとめます。

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.3.2

$\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.3.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.3.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \sin (x) + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.5

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.6

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.7

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.8

$4$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.9

$\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 8.5.10

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

ステップ 8.5.11

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

ステップ 8.5.12

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

ステップ 8.5.13

$5$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

ステップ 8.5.14

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.14.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

ステップ 8.5.14.2

共通因数を約分します。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

ステップ 8.5.14.3

式を書き換えます。

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x)}$

ステップ 8.6

公分母の分子をまとめます。

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x) + 5}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.7

$- 5 \sin^{2} (x)$ と $5$ を並べ替えます。

$4 \sin (x) + \frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.8

$5$ を $5$ で因数分解します。

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.9

$5$ を $- 5 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.10

$5$ を $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$4 \sin (x) + \frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.11

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.12

$\cos^{2} (x)$ と $\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.12.1

$\cos (x)$ を $5 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.12.2.1

$1$ を掛けます。

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.12.2.2

共通因数を約分します。

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.12.2.3

式を書き換えます。

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos (x)}{1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.12.2.4

$5 \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.13.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 8.13.2

分数を分解します。

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.13.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \tan (x)$

ステップ 8.13.4

分数を分解します。

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

ステップ 8.13.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \sec (x) \tan (x)$

ステップ 8.13.6

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + 4 \sec (x) \tan (x)$

微分積分 例

微分積分例