微分積分例

$x \cdot \sqrt{8 x - x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{8 x - x^{2}}$ を ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 8 x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $8 x - x^{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $8 x - x^{2}$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}] + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9

総和則では、 $8 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - (2 x)) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 15

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 17

${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

項を並べ替えます。

$(8 - 2 x) \frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.2

各項を簡約します。

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ステップ 18.2.1

$8 - 2 x$ に $\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{(8 - 2 x) x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.2.2

$2$ を $(8 - 2 x) x$ で因数分解します。

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.2.3

共通因数を約分します。

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ステップ 18.2.3.1

$2$ を $2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 ({(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{(4 - x) x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.3

${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{(4 - x) x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(4 - x) x + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5

分子を簡約します。

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ステップ 18.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x - x \cdot x + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 18.5.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 x - (x \cdot x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.3

指数を足して ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 18.5.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.3.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.3.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{1}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.4

${(8 x - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{4 x - x^{2} + 8 x - x^{2}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.5

$4 x$ と $8 x$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} + 12 x - x^{2}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.6

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} + 12 x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.7

$2 x$ を $- 2 x^{2} + 12 x$ で因数分解します。

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ステップ 18.5.7.1

$2 x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x) + 12 x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.7.2

$2 x$ を $12 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x) + 2 x (6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.7.3

$2 x$ を $2 x (- x) + 2 x (6)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x + 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- (x) + 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7

$6$ を $- 1 (- 6)$ に書き換えます。

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.8

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 6)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- (x - 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.9

$- (x - 6)$ を $- 1 (x - 6)$ に書き換えます。

$\frac{2 x (- 1 (x - 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(2 x) (x - 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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