微分積分例

$\ln (2 x^{0.5})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x^{0.5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x^{0.5}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $2 x^{0.5}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{0.5}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$ です。

$\frac{1}{2 x^{0.5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}])$

ステップ 2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ と $\frac{1}{2 x^{0.5}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

ステップ 2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

ステップ 2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

ステップ 2.3

$n = 0.5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{0.5}} (0.5 x^{- 0.5})$

ステップ 2.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$0.5$ と $\frac{1}{x^{0.5}}$ をまとめます。

$\frac{0.5}{x^{0.5}} x^{- 0.5}$

ステップ 2.4.2

$\frac{0.5}{x^{0.5}}$ と $x^{- 0.5}$ をまとめます。

$\frac{0.5 x^{- 0.5}}{x^{0.5}}$

ステップ 2.4.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 0.5}$ を分母に移動させます。

$\frac{0.5}{x^{0.5} x^{0.5}}$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

指数を足して $x^{0.5}$ に $x^{0.5}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{0.5}{x^{0.5 + 0.5}}$

ステップ 3.1.2

$0.5$ と $0.5$ をたし算します。

$\frac{0.5}{x^{1}}$

ステップ 3.2

$x^{1}$ を簡約します。

$\frac{0.5}{x}$

微分積分 例

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