微分積分例

$\ln (\ln (1 - x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (1 - x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (1 - x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (1 - x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 - x$ とします。

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$\frac{1}{\ln (1 - x)} (\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 - x}$ に $\frac{1}{\ln (1 - x)}$ をかけます。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)} \cdot - 1$

ステップ 3.7.2

$\frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{- 1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$

ステップ 3.7.3

式を簡約します。

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ステップ 3.7.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$

ステップ 3.7.3.2

$- \frac{1}{(1 - x) \ln (1 - x)}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{1}{\ln (1 - x) (1 - x)}$

微分積分 例

微分積分例