微分積分例

$\ln (\csc (5 x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \csc (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\csc (5 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\csc (5 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\csc (5 x)} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

ステップ 2

正弦と余弦に関して $\csc (5 x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (5 x)}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

ステップ 3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (5 x)}$ で割ります。

$1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

ステップ 4

$\sin (5 x)$ に $1$ をかけます。

$\sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

ステップ 5

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 5.2

$u_{2}$ に関する $\csc (u_{2})$ の微分係数は $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ です。

$\sin (5 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \cdot 1)$

ステップ 6.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$ の因数を並べ替えます。

$- 5 \cot (5 x) \csc (5 x) \sin (5 x)$

ステップ 7.2

正弦と余弦に関して $\cot (5 x)$ を書き換えます。

$- 5 \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

ステップ 7.3

$- 5$ と $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ をまとめます。

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

ステップ 7.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

ステップ 7.5

正弦と余弦に関して $\csc (5 x)$ を書き換えます。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)} \sin (5 x)$

ステップ 7.6

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$ を掛けます。

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ステップ 7.6.1

$\frac{1}{\sin (5 x)}$ に $\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ をかけます。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

ステップ 7.6.2

$\sin (5 x)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

ステップ 7.6.3

$\sin (5 x)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)} \sin (5 x)$

ステップ 7.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{{\sin (5 x)}^{1 + 1}} \sin (5 x)$

ステップ 7.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

ステップ 7.7

$\sin (5 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.7.1

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

ステップ 7.7.2

$\sin (5 x)$ を $\sin^{2} (5 x)$ で因数分解します。

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

ステップ 7.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

ステップ 7.7.4

式を書き換えます。

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

ステップ 7.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

ステップ 7.9

分数を分解します。

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

ステップ 7.10

$\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ を $\cot (5 x)$ に変換します。

$- (\frac{5}{1} \cot (5 x))$

ステップ 7.11

$5$ を $1$ で割ります。

$- (5 \cot (5 x))$

ステップ 7.12

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 \cot (5 x)$

微分積分 例

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