微分積分例

$\ln (\sin (4 x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (4 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (4 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin (4 x)} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

ステップ 2

$\frac{1}{\sin (4 x)}$ を $\csc (4 x)$ に変換します。

$\csc (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$\csc (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$\csc (4 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\csc (4 x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\csc (4 x) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\csc (4 x) \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\csc (4 x) \cos (4 x) \cdot 4$

ステップ 4.3.2

$4$ を $\csc (4 x) \cos (4 x)$ の左に移動させます。

$4 \cdot (\csc (4 x) \cos (4 x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$4 \csc (4 x) \cos (4 x)$ の因数を並べ替えます。

$4 \cos (4 x) \csc (4 x)$

ステップ 5.2

正弦と余弦に関して $\csc (4 x)$ を書き換えます。

$4 \cos (4 x) \frac{1}{\sin (4 x)}$

ステップ 5.3

$4 \cos (4 x) \frac{1}{\sin (4 x)}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$\frac{1}{\sin (4 x)}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{\sin (4 x)} \cos (4 x)$

ステップ 5.3.2

$\frac{4}{\sin (4 x)}$ と $\cos (4 x)$ をまとめます。

$\frac{4 \cos (4 x)}{\sin (4 x)}$

ステップ 5.4

分数を分解します。

$\frac{4}{1} \cdot \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}$

ステップ 5.5

$\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}$ を $\cot (4 x)$ に変換します。

$\frac{4}{1} \cot (4 x)$

ステップ 5.6

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \cot (4 x)$

微分積分 例

微分積分例