微分積分例

$\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$

ステップ 1

総和則では、 $\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\csc (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \cos (x))$

ステップ 3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\csc (x) \cos (x) - 2 (\frac{1}{2}) (\sin (x) \cos (x))$

ステップ 3.5

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2}{2} (\sin (x) \cos (x))$

ステップ 3.6

$\sin (x)$ と $\frac{- 2}{2}$ をまとめます。

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2}{2} \cos (x)$

ステップ 3.7

$\frac{\sin (x) \cdot - 2}{2}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2 \cos (x)}{2}$

ステップ 3.8

$- 2$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{2}$

ステップ 3.9

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$2$ を $- 2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2}$

ステップ 3.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 (1)}$

ステップ 3.9.2.2

共通因数を約分します。

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.9.2.3

式を書き換えます。

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) \cos (x)}{1}$

ステップ 3.9.2.4

$- \sin (x) \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\csc (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$\cos (x) \csc (x) - \cos (x) \sin (x)$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

ステップ 4.2.2

$\cos (x)$ と $\frac{1}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

ステップ 4.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\cot (x) - \cos (x) \sin (x)$

微分積分 例

微分積分例