微分積分例

$\ln (\sin (x^{x}))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (x^{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (x^{x})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (x^{x})$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin (x^{x})} \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

ステップ 2

$\frac{1}{\sin (x^{x})}$ を $\csc (x^{x})$ に変換します。

$\csc (x^{x}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{x}$ とします。

$\csc (x^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{x}])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$\csc (x^{x}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{x}$ で置き換えます。

$\csc (x^{x}) (\cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

ステップ 4

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{x}$ を $e^{\ln (x^{x})}$ に書き換えます。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

ステップ 4.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x})$ を展開します。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $x \ln (x)$ とします。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

ステップ 5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

ステップ 5.3

$u_{3}$ のすべての発生を $x \ln (x)$ で置き換えます。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

ステップ 6

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 7

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 8

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 8.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 8.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 8.2.2

式を書き換えます。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 8.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

ステップ 8.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x))$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \ln (x))$

ステップ 9.3

$e^{x \ln (x)}$ に $1$ をかけます。

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) e^{x \ln (x)} + \csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \ln (x))$

ステップ 9.4

項を並べ替えます。

$e^{x \ln (x)} \cos (x^{x}) \csc (x^{x}) + e^{x \ln (x)} \cos (x^{x}) \csc (x^{x}) \ln (x)$

微分積分 例

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