微分積分例

$r (x) = 1000 \sqrt{x^{2} - 0.3 x}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 0.3 x}$ を ${(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [1000 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$1000$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $1000 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $1000 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$1000 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 0.3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 0.3 x$ とします。

$1000 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1000 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 0.3 x$ で置き換えます。

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$1000 (\frac{{(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$1000 (\frac{1}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

ステップ 10

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $1000$ をまとめます。

$\frac{1000}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

ステップ 11

$2$ を $1000$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 500}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

ステップ 12

共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$2$ を $2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 500}{2 ({(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 500}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

ステップ 13

総和則では、 $x^{2} - 0.3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x]$ です。

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x])$

ステップ 14

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 0.3 x])$

ステップ 15

$- 0.3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.3 x$ の微分係数は $- 0.3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3 \cdot 1)$

ステップ 17

$- 0.3$ に $1$ をかけます。

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3)$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x - 0.3) \frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.2

$2 x - 0.3$ に $\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{(2 x - 0.3) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.3

分子を簡約します。

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ステップ 18.3.1

$0.1$ を $2 x - 0.3$ で因数分解します。

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ステップ 18.3.1.1

$0.1$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{(0.1 (20 x) - 0.3) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.3.1.2

$0.1$ を $- 0.3$ で因数分解します。

$\frac{(0.1 (20 x) + 0.1 (- 3)) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.3.1.3

$0.1$ を $0.1 (20 x) + 0.1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{0.1 (20 x - 3) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.3.2

$500$ に $0.1$ をかけます。

$\frac{50 (20 x - 3)}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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