微分積分例

$\sec (2 x) \tan (2 x)$

ステップ 1

$f (x) = \sec (2 x)$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 3

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 5.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 5.4

式を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 5.4.2

$2$ を $\sec^{3} (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

ステップ 6

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 6.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 7

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 8

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 10

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 13

式を簡約します。

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ステップ 13.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2$

ステップ 13.2

$2$ を $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

ステップ 13.3

項を並べ替えます。

$2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 2 \sec^{3} (2 x)$

微分積分 例

微分積分例