微分積分例

$\sin (\arctan (x))$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

交点 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arctan (x))$ は $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

ステップ 5.2

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

ステップ 6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x^{2}$ とします。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.3

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 11.4

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{1 + x^{2}}$

ステップ 12

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

ステップ 14

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + x^{2}}$

ステップ 15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{1 + x^{2}}$

ステップ 16

分数をまとめます。

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ステップ 16.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

ステップ 16.2

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

ステップ 16.3

$\frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 17

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 18

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 20

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 21

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 22

共通因数を約分します。

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ステップ 22.1

$2$ を $2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{1 + x^{2}}$

ステップ 22.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 22.3

式を書き換えます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 23

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 24

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 25

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 26

指数を足して ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 26.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 26.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 26.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 26.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{1} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 27

${(1 + x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{\frac{1 + x^{2} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 28

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{1 + 0}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 29

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 30

$\frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 31

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

ステップ 32

指数を足して ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1 + x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 32.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1 + x^{2}$ をかけます。

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ステップ 32.1.1

$1 + x^{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}$

ステップ 32.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 32.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 32.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 32.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 33

項を並べ替えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例