微分積分例

$f (x) = \frac{\cot (2 x)}{\csc (5 x)}$

ステップ 1

正弦と余弦に関して $\csc (5 x)$ を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

ステップ 2

正弦と余弦に関して $\cot (2 x)$ を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

ステップ 3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (5 x)}$ で割ります。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

ステップ 4

$\sin (5 x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{1}]$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\sin (5 x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

ステップ 5.2

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ を $\cot (2 x)$ に変換します。

$\frac{d}{d x} [\cot (2 x) \sin (5 x)]$

ステップ 6

$f (x) = \cot (2 x)$ および $g (x) = \sin (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\cot (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

ステップ 7

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 x$ とします。

$\cot (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

ステップ 7.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cot (2 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

ステップ 7.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\cot (2 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

ステップ 8

微分します。

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ステップ 8.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

ステップ 8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

ステップ 8.3

式を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\cot (2 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

ステップ 8.3.2

$5$ を $\cot (2 x) \cos (5 x)$ の左に移動させます。

$5 \cdot (\cot (2 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

ステップ 9

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 9.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 9.2

$u_{2}$ に関する $\cot (u_{2})$ の微分係数は $- \csc^{2} (u_{2})$ です。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 9.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 10

微分します。

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ステップ 10.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 10.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 10.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)$

ステップ 10.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

項を並べ替えます。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

ステップ 11.2

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1

正弦と余弦に関して $\cot (2 x)$ を書き換えます。

$5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

ステップ 11.2.2

$5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ を掛けます。

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ステップ 11.2.2.1

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)} \cos (5 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

ステップ 11.2.2.2

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)}$ と $\cos (5 x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5 \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

ステップ 11.2.3

$5$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cdot \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

ステップ 11.2.4

正弦と余弦に関して $\csc (2 x)$ を書き換えます。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2} \sin (5 x)$

ステップ 11.2.5

積の法則を $\frac{1}{\sin (2 x)}$ に当てはめます。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

ステップ 11.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

ステップ 11.2.7

$- 2$ と $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ をまとめます。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

ステップ 11.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

ステップ 11.2.9

$\sin (5 x)$ と $\frac{2}{\sin^{2} (2 x)}$ をまとめます。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (5 x) \cdot 2}{\sin^{2} (2 x)}$

ステップ 11.2.10

$2$ を $\sin (5 x)$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

ステップ 11.3

各項を簡約します。

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ステップ 11.3.1

分数を分解します。

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

ステップ 11.3.2

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ を $\cot (2 x)$ に変換します。

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

ステップ 11.3.3

$5 \cos (5 x)$ を $1$ で割ります。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

ステップ 11.3.4

$\sin (2 x)$ を $\sin^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin (2 x) \sin (2 x)}$

ステップ 11.3.5

分数を分解します。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)})$

ステップ 11.3.6

$\frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)}$ を積として書き換えます。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

ステップ 11.3.7

$\sin (5 x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}))$

ステップ 11.3.8

簡約します。

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ステップ 11.3.8.1

$\sin (5 x)$ を $1$ で割ります。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

ステップ 11.3.8.2

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ を $\csc (2 x)$ に変換します。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

ステップ 11.3.9

分数を分解します。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

ステップ 11.3.10

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ を $\csc (2 x)$ に変換します。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

ステップ 11.3.11

$2$ を $1$ で割ります。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

ステップ 11.3.12

$2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x))$ を掛けます。

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ステップ 11.3.12.1

$\csc (2 x)$ を $1$ 乗します。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc (2 x)) \sin (5 x))$

ステップ 11.3.12.2

$\csc (2 x)$ を $1$ 乗します。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc^{1} (2 x)) \sin (5 x))$

ステップ 11.3.12.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 {\csc (2 x)}^{1 + 1} \sin (5 x))$

ステップ 11.3.12.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x))$

ステップ 11.3.13

$2$ に $- 1$ をかけます。

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

微分積分 例

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