微分積分例

$6 \sin^{6} (\sqrt{x})$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{6} (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \sin^{6} (x^{\frac{1}{2}})$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (x^{\frac{1}{2}})]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ とします。

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

ステップ 2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ で置き換えます。

$6 (6 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

ステップ 3

$6$ に $6$ をかけます。

$36 (\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

ステップ 4

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 10

分数の前に負数を移動させます。

$36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $36$ をまとめます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 36}{2} \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 36}{2}$ と $\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})$ をまとめます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cos (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 14

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ と $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ をまとめます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 15

式を簡約します。

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ステップ 15.1

$36$ を $x^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{36 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 15.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16

$2$ を $36 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{2 (18 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17

共通因数を約分します。

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ステップ 17.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (18 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 17.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (18 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.3

式を書き換えます。

$\frac{18 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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