微分積分例

$6 {(6 e^{8 x} + 5)}^{2}$

ステップ 1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 {(6 e^{8 x} + 5)}^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [{(6 e^{8 x} + 5)}^{2}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [{(6 e^{8 x} + 5)}^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 6 e^{8 x} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $6 e^{8 x} + 5$ とします。

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $6 e^{8 x} + 5$ で置き換えます。

$6 (2 (6 e^{8 x} + 5) \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$2$ に $6$ をかけます。

$12 ((6 e^{8 x} + 5) \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

ステップ 3.2

総和則では、 $6 e^{8 x} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (\frac{d}{d x} [6 e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 3.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 e^{8 x}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ です。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $8 x$ とします。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $8 x$ で置き換えます。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 5.2

$8$ に $6$ をかけます。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 5.4

$48$ に $1$ をかけます。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 5.5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} + 0)$

ステップ 5.6

式を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$48 e^{8 x}$ と $0$ をたし算します。

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x})$

ステップ 5.6.2

$48$ に $12$ をかけます。

$576 (6 e^{8 x} + 5) e^{8 x}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$(576 (6 e^{8 x}) + 576 \cdot 5) e^{8 x}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$576 (6 e^{8 x}) e^{8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

ステップ 6.3

項をまとめます。

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ステップ 6.3.1

$6$ に $576$ をかけます。

$3456 e^{8 x} e^{8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

ステップ 6.3.2

指数を足して $e^{8 x}$ に $e^{8 x}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1

$e^{8 x}$ を移動させます。

$3456 (e^{8 x} e^{8 x}) + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

ステップ 6.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3456 e^{8 x + 8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

ステップ 6.3.2.3

$8 x$ と $8 x$ をたし算します。

$3456 e^{16 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

ステップ 6.3.3

$576$ に $5$ をかけます。

$3456 e^{16 x} + 2880 e^{8 x}$

微分積分 例

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