微分積分例

$7 e^{- 3 x} \ln (x)$

ステップ 1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 e^{- 3 x} \ln (x)$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} \ln (x)]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} \ln (x)]$

ステップ 2

$f (x) = e^{- 3 x}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$7 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$7 (e^{- 3 x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

ステップ 4

$e^{- 3 x}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

ステップ 5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 3 x$ とします。

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

ステップ 5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)))$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} \cdot - 3))$

ステップ 6.3.2

$- 3$ を $e^{- 3 x}$ の左に移動させます。

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (- 3 \cdot e^{- 3 x}))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$7 \frac{e^{- 3 x}}{x} + 7 (\ln (x) (- 3 e^{- 3 x}))$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$7$ と $\frac{e^{- 3 x}}{x}$ をまとめます。

$\frac{7 e^{- 3 x}}{x} + 7 (\ln (x) (- 3 e^{- 3 x}))$

ステップ 7.2.2

$- 3$ に $7$ をかけます。

$\frac{7 e^{- 3 x}}{x} - 21 \ln (x) e^{- 3 x}$

ステップ 7.3

項を並べ替えます。

$- 21 e^{- 3 x} \ln (x) + \frac{7 e^{- 3 x}}{x}$

微分積分 例

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