微分積分例

$arccsc (\frac{x}{2})$

ステップ 1

$f (x) = arccsc (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $arccsc (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ です。

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 2

$\frac{x}{2}$ と $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 3

分数の逆数を掛け、 $\frac{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{2}$ で割ります。

$- (1 \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 4

$\frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ をかけます。

$- \frac{2}{2 (x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{2 x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \cdot 1$

ステップ 8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

積の法則を $\frac{x}{2}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{x \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - 1}}$

ステップ 9.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{x \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - 1}}$

微分積分 例

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