微分積分例

$\arctan (\frac{y}{x})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{y}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{y}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{y}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{y}{x}$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.2.1

$y$ と $\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

ステップ 2.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{y x^{- 2}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

ステップ 2.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{y}{(1 + {(\frac{y}{x})}^{2}) x^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{y}{x}$ に当てはめます。

$- \frac{y}{(1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{y}{1 x^{2} + \frac{y^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 3.3.2

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 3.3.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 3.3.3.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$

微分積分 例

微分積分例