微分積分例

$\arctan (x e^{x})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = x e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x e^{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

ステップ 4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $x e^{x}$ に当てはめます。

$\frac{1}{1 + x^{2} {(e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 5.2

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{x \cdot 2}} (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 5.2.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 5.3

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$ の因数を並べ替えます。

$(x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

ステップ 5.4

$x e^{x} + e^{x}$ に $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$ をかけます。

$\frac{x e^{x} + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

ステップ 5.5

$e^{x}$ を $x e^{x} + e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$e^{x}$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} x + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

ステップ 5.5.2

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

ステップ 5.5.3

$e^{x}$ を $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x + 1)}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

微分積分 例

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