微分積分例

$\arctan (\frac{x}{y})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{y}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{y}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{y}$ の微分係数は $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ に $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \cdot 1$

ステップ 2.4

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{x}{y}$ に当てはめます。

$\frac{1}{y (1 + \frac{x^{2}}{y^{2}})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

ステップ 3.3.2

$y$ と $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y^{2}}}$

ステップ 3.3.3

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

$y$ を $y x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y^{2}}}$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y \cdot y}}$

ステップ 3.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y \cdot y}}$

ステップ 3.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y + \frac{x^{2}}{y}}$

ステップ 3.4

分母を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{x^{2}}{y}}$

ステップ 3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{y \cdot y + x^{2}}{y}}$

ステップ 3.4.3

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{y^{2} + x^{2}}{y}}$

ステップ 3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

ステップ 3.6

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

微分積分 例

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