微分積分例

$\arctan (\frac{x}{a})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{x}{a}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{a}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{a}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{a}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{a}$ の微分係数は $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2

$\frac{1}{a}$ に $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{a (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{a (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})} \cdot 1$

ステップ 2.4

$\frac{1}{a (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{a (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{x}{a}$ に当てはめます。

$\frac{1}{a (1 + \frac{x^{2}}{a^{2}})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{a \cdot 1 + a \frac{x^{2}}{a^{2}}}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$a$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{a + a \frac{x^{2}}{a^{2}}}$

ステップ 3.3.2

$a$ と $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{a + \frac{a x^{2}}{a^{2}}}$

ステップ 3.3.3

$a$ と $a^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

$a$ を $a x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{a + \frac{a (x^{2})}{a^{2}}}$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$a$ を $a^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{a + \frac{a (x^{2})}{a \cdot a}}$

ステップ 3.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{a + \frac{a x^{2}}{a \cdot a}}$

ステップ 3.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{a + \frac{x^{2}}{a}}$

ステップ 3.4

分母を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$a$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a}{a}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{a \cdot a}{a} + \frac{x^{2}}{a}}$

ステップ 3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{a \cdot a + x^{2}}{a}}$

ステップ 3.4.3

$a$ に $a$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{a^{2} + x^{2}}{a}}$

ステップ 3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{a}{a^{2} + x^{2}}$

ステップ 3.6

$\frac{a}{a^{2} + x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{a}{a^{2} + x^{2}}$

微分積分 例

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