微分積分例

$\arcsin (4 x) + \arccos (4 x)$

ステップ 1

総和則では、 $\arcsin (4 x) + \arccos (4 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)] + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)] + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\arcsin (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$

ステップ 2.4

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$

ステップ 2.5

積の法則を $4 (x)$ に当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$

ステップ 2.6

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$

ステップ 2.7

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$

ステップ 2.8

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$

ステップ 2.9

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\arccos (4 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = \arccos (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} + \frac{d}{d u_{2}} [\arccos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $\arccos (u_{2})$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ です。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} (4 \cdot 1)$

ステップ 3.4

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} (4 \cdot 1)$

ステップ 3.5

積の法則を $4 (x)$ に当てはめます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} (4 \cdot 1)$

ステップ 3.6

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} (4 \cdot 1)$

ステップ 3.7

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \cdot 1)$

ステップ 3.8

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 4$

ステップ 3.9

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} - 4 \frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

ステップ 3.10

$- 4$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} + \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

ステップ 3.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

ステップ 4

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ から $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ を引きます。

$0$

微分積分 例

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