微分積分例

$\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$

ステップ 1

総和則では、 $\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ です。

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{9}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{9}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{9}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

ステップ 2.2

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{9}{x}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

ステップ 2.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

ステップ 2.5

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (- 9 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

ステップ 2.6

$- 9$ と $\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

ステップ 2.7

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$\frac{- 9 x^{- 2}}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

ステップ 2.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

ステップ 2.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{3}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{3}{x}$ とします。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $\arctan (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ です。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{3}{x}$ で置き換えます。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 3.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 3.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 (- x^{- 2}))$

ステップ 3.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (- 3 x^{- 2})$

ステップ 3.6

$- 3$ と $\frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} x^{- 2}$

ステップ 3.7

$\frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3 x^{- 2}}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$

ステップ 3.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

ステップ 3.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{9}{x}$ に当てはめます。

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

ステップ 4.2

積の法則を $\frac{3}{x}$ に当てはめます。

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 4.5

項をまとめます。

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ステップ 4.5.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 4.5.2

$9$ を $2$ 乗します。

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 4.5.3

$\frac{81}{x^{2}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 4.5.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 4.5.4.2

$81$ を $1$ で割ります。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 4.5.5

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 4.5.6

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 4.5.7

$\frac{9}{x^{2}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 4.5.8

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.8.1

共通因数を約分します。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 4.5.8.2

$9$ を $1$ で割ります。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

ステップ 4.5.9

$- \frac{9}{x^{2} + 81}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ を掛けます。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

ステップ 4.5.10

$- \frac{3}{x^{2} + 9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ を掛けます。

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

ステップ 4.5.11

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.5.11.1

$\frac{9}{x^{2} + 81}$ に $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ をかけます。

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

ステップ 4.5.11.2

$\frac{3}{x^{2} + 9}$ に $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ をかけます。

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)}$

ステップ 4.5.11.3

$(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.5.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 9 (x^{2} + 9) - 3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.6

項を並べ替えます。

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$- 3$ を $- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)$ で因数分解します。

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ステップ 4.7.1.1

$- 3$ を $- 9 (x^{2} + 9)$ で因数分解します。

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.7.1.2

$- 3$ を $- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))$ で因数分解します。

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 3 \cdot 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.7.3

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.7.4

$x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 81 + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.7.5

$81$ と $27$ をたし算します。

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.7.6

$4$ を $4 x^{2} + 108$ で因数分解します。

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ステップ 4.7.6.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 3 (4 (x^{2}) + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.7.6.2

$4$ を $108$ で因数分解します。

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 4 \cdot 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.7.6.3

$4$ を $4 x^{2} + 4 \cdot 27$ で因数分解します。

$\frac{- 3 (4 (x^{2} + 27))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

$\frac{- 3 \cdot 4 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.7.7

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

ステップ 4.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

微分積分 例

微分積分例