微分積分 例

極限を求める xが(1+a/x)^xのinfinityに近づく極限
ステップ 1
項をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 1.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 2
対数の性質を利用して極限を簡約します。
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ステップ 2.1
に書き換えます。
ステップ 2.2
を対数の外に移動させて、を展開します。
ステップ 3
指数に極限を移動させます。
ステップ 4
に書き換えます。
ステップ 5
ロピタルの定理を当てはめます。
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ステップ 5.1
分子と分母の極限値を求めます。
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ステップ 5.1.1
分子と分母の極限値をとります。
ステップ 5.1.2
分子の極限値を求めます。
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ステップ 5.1.2.1
対数の内側に極限を移動させます。
ステップ 5.1.2.2
分子と分母を分母のの最大べき乗で割ると、です。
ステップ 5.1.2.3
極限を求めます。
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ステップ 5.1.2.3.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.2.3.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.1.2.3.1.2
式を書き換えます。
ステップ 5.1.2.3.2
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.2.3.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.1.2.3.2.2
式を書き換えます。
ステップ 5.1.2.3.3
に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。
ステップ 5.1.2.3.4
に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。
ステップ 5.1.2.3.5
に近づくと定数であるの極限値を求めます。
ステップ 5.1.2.3.6
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5.1.2.4
分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数に近づきます。
ステップ 5.1.2.5
極限を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.2.5.1
に近づくと定数であるの極限値を求めます。
ステップ 5.1.2.5.2
答えを簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.2.5.2.1
で割ります。
ステップ 5.1.2.5.2.2
をかけます。
ステップ 5.1.2.5.2.3
をたし算します。
ステップ 5.1.2.5.2.4
の自然対数はです。
ステップ 5.1.3
分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数に近づきます。
ステップ 5.1.4
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 5.2
は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。
ステップ 5.3
分子と分母の微分係数を求めます。
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ステップ 5.3.1
分母と分子を微分します。
ステップ 5.3.2
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
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ステップ 5.3.2.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 5.3.2.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 5.3.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 5.3.3
分数の逆数を掛け、で割ります。
ステップ 5.3.4
をかけます。
ステップ 5.3.5
およびのとき、であるという商の法則を使って微分します。
ステップ 5.3.6
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 5.3.7
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.3.8
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 5.3.9
をたし算します。
ステップ 5.3.10
をかけます。
ステップ 5.3.11
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.3.12
をかけます。
ステップ 5.3.13
をかけます。
ステップ 5.3.14
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.14.1
で因数分解します。
ステップ 5.3.14.2
共通因数を約分します。
ステップ 5.3.14.3
式を書き換えます。
ステップ 5.3.15
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.15.1
分配則を当てはめます。
ステップ 5.3.15.2
分配則を当てはめます。
ステップ 5.3.15.3
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.15.3.1
からを引きます。
ステップ 5.3.15.3.2
からを引きます。
ステップ 5.3.15.4
項をまとめます。
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ステップ 5.3.15.4.1
乗します。
ステップ 5.3.15.4.2
乗します。
ステップ 5.3.15.4.3
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 5.3.15.4.4
をたし算します。
ステップ 5.3.15.4.5
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 5.3.15.5
で因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.15.5.1
で因数分解します。
ステップ 5.3.15.5.2
で因数分解します。
ステップ 5.3.15.5.3
で因数分解します。
ステップ 5.3.16
に書き換えます。
ステップ 5.3.17
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.3.18
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 5.4
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 5.5
因数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.5.1
をかけます。
ステップ 5.5.2
をかけます。
ステップ 5.5.3
をまとめます。
ステップ 5.6
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.1
で因数分解します。
ステップ 5.6.2
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.6.2.2
式を書き換えます。
ステップ 6
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 7
分子と分母を分母のの最大べき乗で割ると、です。
ステップ 8
極限を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 8.1.2
式を書き換えます。
ステップ 8.2
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 8.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 8.2.2
式を書き換えます。
ステップ 8.3
に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。
ステップ 8.4
に近づくと定数であるの極限値を求めます。
ステップ 8.5
に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。
ステップ 8.6
に近づくと定数であるの極限値を求めます。
ステップ 8.7
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 9
分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数に近づきます。
ステップ 10
答えを簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.1
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 10.1.1
をかけます。
ステップ 10.1.2
をたし算します。
ステップ 10.2
で割ります。
ステップ 10.3
をかけます。