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微分積分 例
ステップ 1
ステップ 1.1
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 1.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 2
ステップ 2.1
をに書き換えます。
ステップ 2.2
を対数の外に移動させて、を展開します。
ステップ 3
指数に極限を移動させます。
ステップ 4
をに書き換えます。
ステップ 5
ステップ 5.1
分子と分母の極限値を求めます。
ステップ 5.1.1
分子と分母の極限値をとります。
ステップ 5.1.2
分子の極限値を求めます。
ステップ 5.1.2.1
対数の内側に極限を移動させます。
ステップ 5.1.2.2
分子と分母を分母のの最大べき乗で割ると、です。
ステップ 5.1.2.3
極限を求めます。
ステップ 5.1.2.3.1
の共通因数を約分します。
ステップ 5.1.2.3.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.1.2.3.1.2
式を書き換えます。
ステップ 5.1.2.3.2
の共通因数を約分します。
ステップ 5.1.2.3.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.1.2.3.2.2
式を書き換えます。
ステップ 5.1.2.3.3
がに近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。
ステップ 5.1.2.3.4
がに近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。
ステップ 5.1.2.3.5
がに近づくと定数であるの極限値を求めます。
ステップ 5.1.2.3.6
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5.1.2.4
分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数はに近づきます。
ステップ 5.1.2.5
極限を求めます。
ステップ 5.1.2.5.1
がに近づくと定数であるの極限値を求めます。
ステップ 5.1.2.5.2
答えを簡約します。
ステップ 5.1.2.5.2.1
をで割ります。
ステップ 5.1.2.5.2.2
にをかけます。
ステップ 5.1.2.5.2.3
とをたし算します。
ステップ 5.1.2.5.2.4
の自然対数はです。
ステップ 5.1.3
分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数はに近づきます。
ステップ 5.1.4
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 5.2
は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。
ステップ 5.3
分子と分母の微分係数を求めます。
ステップ 5.3.1
分母と分子を微分します。
ステップ 5.3.2
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 5.3.2.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 5.3.2.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 5.3.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 5.3.3
分数の逆数を掛け、で割ります。
ステップ 5.3.4
にをかけます。
ステップ 5.3.5
およびのとき、はであるという商の法則を使って微分します。
ステップ 5.3.6
総和則では、のに関する積分はです。
ステップ 5.3.7
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.3.8
はについて定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 5.3.9
とをたし算します。
ステップ 5.3.10
にをかけます。
ステップ 5.3.11
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.3.12
にをかけます。
ステップ 5.3.13
にをかけます。
ステップ 5.3.14
共通因数を約分します。
ステップ 5.3.14.1
をで因数分解します。
ステップ 5.3.14.2
共通因数を約分します。
ステップ 5.3.14.3
式を書き換えます。
ステップ 5.3.15
簡約します。
ステップ 5.3.15.1
分配則を当てはめます。
ステップ 5.3.15.2
分配則を当てはめます。
ステップ 5.3.15.3
分子を簡約します。
ステップ 5.3.15.3.1
からを引きます。
ステップ 5.3.15.3.2
からを引きます。
ステップ 5.3.15.4
項をまとめます。
ステップ 5.3.15.4.1
を乗します。
ステップ 5.3.15.4.2
を乗します。
ステップ 5.3.15.4.3
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 5.3.15.4.4
とをたし算します。
ステップ 5.3.15.4.5
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 5.3.15.5
をで因数分解します。
ステップ 5.3.15.5.1
をで因数分解します。
ステップ 5.3.15.5.2
をで因数分解します。
ステップ 5.3.15.5.3
をで因数分解します。
ステップ 5.3.16
をに書き換えます。
ステップ 5.3.17
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 5.3.18
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 5.4
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 5.5
因数をまとめます。
ステップ 5.5.1
にをかけます。
ステップ 5.5.2
にをかけます。
ステップ 5.5.3
とをまとめます。
ステップ 5.6
との共通因数を約分します。
ステップ 5.6.1
をで因数分解します。
ステップ 5.6.2
共通因数を約分します。
ステップ 5.6.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.6.2.2
式を書き換えます。
ステップ 6
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 7
分子と分母を分母のの最大べき乗で割ると、です。
ステップ 8
ステップ 8.1
の共通因数を約分します。
ステップ 8.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 8.1.2
式を書き換えます。
ステップ 8.2
の共通因数を約分します。
ステップ 8.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 8.2.2
式を書き換えます。
ステップ 8.3
がに近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。
ステップ 8.4
がに近づくと定数であるの極限値を求めます。
ステップ 8.5
がに近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。
ステップ 8.6
がに近づくと定数であるの極限値を求めます。
ステップ 8.7
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 9
分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数はに近づきます。
ステップ 10
ステップ 10.1
分母を簡約します。
ステップ 10.1.1
にをかけます。
ステップ 10.1.2
とをたし算します。
ステップ 10.2
をで割ります。
ステップ 10.3
にをかけます。