微分積分例

$f (x) = (1 + 4 x^{2}) \arctan (2 x)$

ステップ 1

$f (x) = 1 + 4 x^{2}$ および $g (x) = \arctan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

ステップ 3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

ステップ 3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

ステップ 3.4

$2$ と $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ をまとめます。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

ステップ 3.6

$1 + 4 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

ステップ 3.7

総和則では、 $1 + 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ です。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 3.9

$0$ と $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ をたし算します。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

ステップ 3.10

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (4 (2 x))$

ステップ 3.12

$2$ に $4$ をかけます。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (8 x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + 8 x \arctan (2 x)$

ステップ 4.2

$1 + 4 x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

共通因数を約分します。

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + 8 x \arctan (2 x)$

ステップ 4.2.2

式を書き換えます。

$2 + 8 x \arctan (2 x)$

微分積分 例

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