微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

ステップ 1.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

ステップ 1.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $2^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

ステップ 1.3.3

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2^{x} \ln (2)}$

ステップ 2

$\frac{2}{\ln (2)}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

ステップ 3.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

ステップ 3.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $2^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

ステップ 3.3.3

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x} \ln (2)}$

ステップ 4

$\frac{1}{\ln (2)}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{2^{x}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.1

$\frac{2}{\ln (2)}$ に $\frac{1}{\ln (2)}$ をかけます。

$\frac{2}{\ln (2) \ln (2)} \cdot 0$

ステップ 6.1.2

$\ln (2)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot 0$

ステップ 6.1.3

$\ln (2)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot 0$

ステップ 6.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{\ln^{2} (2)} \cdot 0$

ステップ 6.2

$\frac{2}{\ln^{2} (2)}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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