微分積分例

$f (x) = (10 - 5 x) e^{x}$

ステップ 1

$f (x) = 10 - 5 x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(10 - 5 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [10 - 5 x]$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [10 - 5 x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $10 - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 3.2

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ をたし算します。

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 3.4

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} (- 5 \cdot 1)$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$- 5$ に $1$ をかけます。

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} \cdot - 5$

ステップ 3.6.2

$- 5$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$(10 - 5 x) e^{x} - 5 \cdot e^{x}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$10 e^{x} - 5 x e^{x} - 5 e^{x}$

ステップ 4.2

$10 e^{x}$ から $5 e^{x}$ を引きます。

$- 5 x e^{x} + 5 e^{x}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$- 5 e^{x} x + 5 e^{x}$

ステップ 4.4

$- 5 e^{x} x + 5 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$- 5 x e^{x} + 5 e^{x}$

微分積分 例

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