微分積分例

$- \cos (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))]$ です。

$- \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \ln (\sec (x) + \tan (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))] + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x) + \tan (x)$ とします。

$- (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$- (\cos (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x) + \tan (x)$ で置き換えます。

$- (\cos (x) (\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 4

和の法則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$- (\frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)] + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 4.2

総和則では、 $\sec (x) + \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$- (\frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 5

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$- (\frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 6

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$- (\frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 7

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- (\frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) (- \sin (x)))$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$- (\frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))) - (\ln (\sec (x) + \tan (x)) (- \sin (x)))$

ステップ 8.2

項をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) + 1 (\ln (\sec (x) + \tan (x)) (\sin (x)))$

ステップ 8.2.2

$\ln (\sec (x) + \tan (x))$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) + \ln (\sec (x) + \tan (x)) \sin (x)$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$- (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$- (\frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.1.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$- (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.1.3

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.3.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$- (\frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.1.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.1.3.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.1.4

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$- (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.1.5

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$- (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$- (\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.2

分配則を当てはめます。

$(- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.3.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$(- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.3.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$(- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.4

分配則を当てはめます。

$- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.5.1

$- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.5.2

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.5.3

共通因数を約分します。

ステップ 8.4.5.4

式を書き換えます。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.6

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ をかけます。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.7

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.7.1

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.7.2

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{- 1}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.7.3

共通因数を約分します。

ステップ 8.4.7.4

式を書き換えます。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.8

$\frac{- 1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ をかけます。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{- 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.9.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{- 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 8.4.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.10.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x))$

ステップ 8.4.10.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 8.5

$\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ を掛けます。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.6

$\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ と $\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.1

$\sin (x)$ を $- \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.1.1

$\sin (x)$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.8.1.2

$\sin (x)$ を $\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) (\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.8.1.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) (\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- 1 + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) (- 1 + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.8.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.3.1

$\cos (x)$ を $\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- 1 + \cos (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{1}{\cos (x)} + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.8.3.2

共通因数を約分します。

ステップ 8.8.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\sin (x) (- 1 + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.8.4

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.4.1

$\cos (x)$ を $\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (- 1 + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.8.4.2

共通因数を約分します。

ステップ 8.8.4.3

式を書き換えます。

$\frac{\sin (x) (- 1 + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x))}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x) (- 1 + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin (x) (\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.10.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.10.2.1

$- 1$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin (x) (\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.10.2.2

$\sin (x) (\ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.10.2.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{1} (x) \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.10.2.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.10.2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + {\sin (x)}^{1 + 1} \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.10.2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{2} (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.10.3

$- 1 \sin (x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{2} (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.10.4

因数分解した形で $- \sin (x) + \sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{2} (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1$ を書き換えます。

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ステップ 8.10.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{2} (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1 - \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.10.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.10.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \sin^{2} (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) - 1 - \sin (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.10.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 + \sin (x)) - 1 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.10.4.3

最大公約数 $1 + \sin (x)$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (\sin (x) \ln (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.11

各項を簡約します。

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ステップ 8.11.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (\sin (x) \ln (\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 1)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.11.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (\sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x)) - 1)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.12

各項を簡約します。

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ステップ 8.12.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (\sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x)) - 1)}{\cos (x) (\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 8.12.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (\sin (x) \ln (\sec (x) + \tan (x)) - 1)}{\cos (x) (\sec (x) + \tan (x))}$

微分積分 例

微分積分例