微分積分例

$\arctan (x - 1)$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + 0)$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \cdot 1$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2} + 1}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{1}{(x - 1) (x - 1) + 1}$

ステップ 3.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1}$

ステップ 3.2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1}$

ステップ 3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 3.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 3.2.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 3.2.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 3.2.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1}$

ステップ 3.2.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2} - x - x + 1 + 1}$

ステップ 3.2.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1 + 1}$

ステップ 3.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 2}$

微分積分 例

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