微分積分例

$\cos ({(1 - x^{2})}^{2})$

ステップ 1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = {(1 - x^{2})}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(1 - x^{2})}^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(1 - x^{2})}^{2}$ で置き換えます。

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 - x^{2}$ とします。

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

ステップ 3.6

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}]))$

ステップ 3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (2 x))$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$2$ を $1 - x^{2}$ の左に移動させます。

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 \cdot (1 - x^{2}) x)$

ステップ 3.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (1 x - x^{2} x)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{2} x)$

ステップ 4.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - (x^{1} x^{2}))$

ステップ 4.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{1 + 2})$

ステップ 4.2.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{3})$

微分積分 例

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