微分積分例

$- \csc (\frac{1}{\sqrt{x}})$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$

ステップ 1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$ です。

$- \frac{d}{d x} [\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$

ステップ 2

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\csc (u)$ の微分係数は $- \csc (u) \cot (u)$ です。

$- (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ で置き換えます。

$- (- \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ に $1$ をかけます。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 3.2.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 3.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 3.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

ステップ 7.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 9

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 10

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ と $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 11

$\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ と $\frac{\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{- \frac{3}{2}})}{2}$

ステップ 12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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