微分積分例

$D x (\sqrt{5 x y})$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 x y}$ を ${(5 x y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [D x {(5 x y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.2.1

$5$ を $5 x y$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [D x {(5 (x y))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2.2

積の法則を $5 (x y)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [D x (5^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.3

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $D x (5^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})$ の微分係数は $D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$ です。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 10

$y$ と $\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12

$\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

ステップ 14

${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

積の法則を $x y$ に当てはめます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + {(x y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.2

積の法則を $x y$ に当てはめます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.3

分配則を当てはめます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4

項をまとめます。

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ステップ 15.4.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x y^{- \frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 15.4.3.1

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 15.4.3.1.1

$y^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2}} y x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.3.1.2

$y^{- \frac{1}{2}}$ に $y$ をかけます。

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ステップ 15.4.3.1.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2} + 1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.3.1.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.3.1.4

公分母の分子をまとめます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.3.1.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.3.2

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 15.4.3.2.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.3.2.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 15.4.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.3.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.3.2.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.4

$D$ と $\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$5^{\frac{1}{2}} \frac{D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.5

$5^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2}$ をまとめます。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} (D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 15.4.6

$D$ と $5^{\frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + 5^{\frac{1}{2}} \cdot D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 15.4.7

$5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 15.4.8

$5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

ステップ 15.4.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

ステップ 15.4.10

$2$ を $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot (5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 15.4.11

$5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ と $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 15.5

項を並べ替えます。

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} D}{2}$

ステップ 15.6

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} D}{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 D \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2}$

微分積分 例

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