微分積分例

$f (x) = 2 x^{2} \arctan (5 x^{3})$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2} \arctan (5 x^{3})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \arctan (5 x^{3})]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \arctan (5 x^{3})]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \arctan (5 x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{3})] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 5 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{3}$ とします。

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{3}$ で置き換えます。

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + {(5 x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$5$ を $5 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + {(5 (x^{3}))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

式を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

積の法則を $5 (x^{3})$ に当てはめます。

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 5^{2} {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2.1.3

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 x^{3 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2.1.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{1 + 25 x^{6}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 (\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4

$5$ と $\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ をまとめます。

$2 (\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} (3 x^{2}) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.6

分数をまとめます。

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ステップ 4.6.1

$3$ と $\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ をまとめます。

$2 (\frac{3 (5 x^{2})}{1 + 25 x^{6}} x^{2} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.6.2

$5$ に $3$ をかけます。

$2 (\frac{15 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} x^{2} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.6.3

$\frac{15 x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{15 x^{2} x^{2}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 (\frac{15 (x^{2} x^{2})}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\frac{15 x^{2 + 2}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) (2 x))$

ステップ 7

$\arctan (5 x^{3}) (2 x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + 25 x^{6}}{1 + 25 x^{6}}$ を掛けます。

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \frac{\arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}})$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 9

$2$ と $\frac{15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}}$ をまとめます。

$\frac{2 (15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1 + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (15 x^{4}) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.3

分子を簡約します。

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ステップ 10.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.3.1.1

$15$ に $2$ をかけます。

$\frac{30 x^{4} + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{30 x^{4} + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.3.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{30 x^{4} + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.3.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{30 x^{4} + 4 (\arctan (5 x^{3}) x) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.3.1.5

指数を足して $x$ に $x^{6}$ を掛けます。

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ステップ 10.3.1.5.1

$x^{6}$ を移動させます。

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 (x^{6} x)) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.3.1.5.2

$x^{6}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 10.3.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 (x^{6} x^{1})) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.3.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x^{6 + 1}) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.3.1.5.3

$6$ と $1$ をたし算します。

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x^{7}) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.3.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x^{7} \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.3.1.7

$25$ に $2$ をかけます。

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (50 \arctan (5 x^{3}) x^{7})}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.3.1.8

$50$ に $2$ をかけます。

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 100 \arctan (5 x^{3}) x^{7}}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.3.2

$30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 100 \arctan (5 x^{3}) x^{7}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{30 x^{4} + 4 x \arctan (5 x^{3}) + 100 x^{7} \arctan (5 x^{3})}{1 + 25 x^{6}}$

ステップ 10.4

項を並べ替えます。

$\frac{30 x^{4} + 4 x \arctan (5 x^{3}) + 100 x^{7} \arctan (5 x^{3})}{25 x^{6} + 1}$

微分積分 例

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