微分積分例

$f (x) = 2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

ステップ 1.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \ln (\frac{1}{x})$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ です。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

ステップ 2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$0 + 3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 2.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} (- x^{- 2}))$

ステップ 2.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{x}$ で割ります。

$0 + 3 (1 x (- x^{- 2}))$

ステップ 2.6

$x$ に $1$ をかけます。

$0 + 3 (x (- x^{- 2}))$

ステップ 2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$0 + 3 (- (x^{1} x^{- 2}))$

ステップ 2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 + 3 (- x^{1 - 2})$

ステップ 2.9

$1$ から $2$ を引きます。

$0 + 3 (- x^{- 1})$

ステップ 2.10

$- 1$ に $3$ をかけます。

$0 - 3 x^{- 1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 - 3 \frac{1}{x}$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$0 + \frac{- 3}{x}$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$0 - \frac{3}{x}$

ステップ 3.2.3

$0$ から $\frac{3}{x}$ を引きます。

$- \frac{3}{x}$

微分積分 例

微分積分例