微分積分例

$f (x) = x^{3} {(x - 9)}^{2}$

ステップ 1

${(x - 9)}^{2}$ を $(x - 9) (x - 9)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{3} ((x - 9) (x - 9))]$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 9) (x - 9)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x (x - 9) - 9 (x - 9))]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9))]$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

ステップ 3.1.2

$- 9$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

ステップ 3.1.3

$- 9$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 x - 9 x + 81)]$

ステップ 3.2

$- 9 x$ から $9 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 18 x + 81)]$

ステップ 4

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} - 18 x + 81$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 18 x + 81] + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $x^{2} - 18 x + 81$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]$ です。

$x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5.3

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{3} (2 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5.5

$- 18$ に $1$ をかけます。

$x^{3} (2 x - 18 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5.6

$81$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $81$ の微分係数は $0$ です。

$x^{3} (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5.7

$2 x - 18$ と $0$ をたし算します。

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5.8

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) (3 x^{2})$

ステップ 5.9

$3$ を $x^{2} - 18 x + 81$ の左に移動させます。

$x^{3} (2 x - 18) + 3 \cdot (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + (3 x^{2} + 3 (- 18 x) + 3 \cdot 81) x^{2}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4

項をまとめます。

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ステップ 6.4.1

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.1.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.1.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$x^{4} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.2

$2$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.3

$- 18$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$2 x^{4} - 18 \cdot x^{3} + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.4.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2 + 2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.4.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.5

$- 18$ に $3$ をかけます。

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.6

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.6.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x) + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.6.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{2 + 1} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 3 \cdot 81 x^{2}$

ステップ 6.4.7

$3$ に $81$ をかけます。

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

ステップ 6.4.8

$2 x^{4}$ と $3 x^{4}$ をたし算します。

$5 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

ステップ 6.4.9

$- 18 x^{3}$ から $54 x^{3}$ を引きます。

$5 x^{4} - 72 x^{3} + 243 x^{2}$

微分積分 例

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