微分積分例

$f (x) = 2 \sin (x) - 3 \cos (x) + x \tan (x)$

ステップ 1

総和則では、 $2 \sin (x) - 3 \cos (x) + x \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \cos (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 \cos (x) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 \cos (x) - 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

ステップ 3.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [x \tan (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1$

ステップ 4.4

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項を並べ替えます。

$x \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

ステップ 5.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

ステップ 5.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

ステップ 5.2.4

$x$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{x}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

ステップ 5.2.5

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{x}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 5.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$1$ を掛けます。

$\frac{x}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 5.3.2

分数を分解します。

$\frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 5.3.3

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{x}{1} \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 5.3.4

$x$ を $1$ で割ります。

$x \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 5.3.5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$x \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

微分積分 例

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