微分積分例

$f (x) = 4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$

ステップ 1

総和則では、 $4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 e^{x} \cos (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

ステップ 2.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cdot e^{x}]$

ステップ 3.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 \sin (x) e^{x}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$ です。

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$

ステップ 3.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 (e^{x} (\sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

ステップ 4.3.2

$- 4 e^{x} \sin (x)$ から $4 \sin (x) e^{x}$ を引きます。

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ステップ 4.3.2.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$- 4 e^{x} \sin (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

ステップ 4.3.2.2

$- 4 e^{x} \sin (x)$ から $4 e^{x} \sin (x)$ を引きます。

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

ステップ 4.3.3

$4 \cos (x) e^{x}$ から $4 e^{x} \cos (x)$ を引きます。

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ステップ 4.3.3.1

$\cos (x)$ を移動させます。

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \cos (x)$

ステップ 4.3.3.2

$4 e^{x} \cos (x)$ から $4 e^{x} \cos (x)$ を引きます。

$- 8 e^{x} \sin (x) + 0$

ステップ 4.3.4

$- 8 e^{x} \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$- 8 e^{x} \sin (x)$

微分積分 例

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