微分積分例

$f (x) = 3 \ln (1 + x^{2})$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \ln (1 + x^{2})$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x^{2}$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$3 (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{3}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{3}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{1 + x^{2}} (2 x)$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

$2$ と $\frac{3}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3}{1 + x^{2}} x$

ステップ 3.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6}{1 + x^{2}} x$

ステップ 3.6.3

$\frac{6}{1 + x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{6 x}{1 + x^{2}}$

ステップ 3.6.4

項を並べ替えます。

$\frac{6 x}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

微分積分例