微分積分例

$f (x) = 5 x \sqrt[3]{x - 8}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x - 8}$ を ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [5 x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 8$ とします。

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x - 8$ で置き換えます。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$5 (x (\frac{{(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$5 (x (\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.4

$\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 8] + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

総和則では、 $x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 11

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12.2

$\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1)$

ステップ 14

${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 15

${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 16

${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 17

公分母の分子をまとめます。

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18

指数を足して ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 18.1

${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2}{3}} {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.3

公分母の分子をまとめます。

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.5

$3$ を $3$ で割ります。

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19

式を簡約します。

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ステップ 19.1

${(x - 8)}^{1} \cdot 3$ を簡約します。

$5 \frac{x + (x - 8) \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19.2

$3$ を $x - 8$ の左に移動させます。

$5 \frac{x + 3 \cdot (x - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 20

$5$ と $\frac{x + 3 (x - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{5 (x + 3 (x - 8))}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21

簡約します。

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ステップ 21.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 (x + 3 x + 3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x + 5 (3 x) + 5 (3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.3

分子を簡約します。

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ステップ 21.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 21.3.1.1

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 x + 15 x + 5 (3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.3.1.2

$5 (3 \cdot - 8)$ を掛けます。

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ステップ 21.3.1.2.1

$3$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{5 x + 15 x + 5 \cdot - 24}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.3.1.2.2

$5$ に $- 24$ をかけます。

$\frac{5 x + 15 x - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.3.2

$5 x$ と $15 x$ をたし算します。

$\frac{20 x - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.4

$20$ を $20 x - 120$ で因数分解します。

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ステップ 21.4.1

$20$ を $20 x$ で因数分解します。

$\frac{20 (x) - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.4.2

$20$ を $- 120$ で因数分解します。

$\frac{20 x + 20 \cdot - 6}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.4.3

$20$ を $20 x + 20 \cdot - 6$ で因数分解します。

$\frac{20 (x - 6)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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