微分積分例

$f (x) = \ln ({(x^{4} + 1)}^{2})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x^{4} + 1)}^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x^{4} + 1)}^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{4} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{4} + 1$ とします。

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{4} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ と $\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{4} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0))$

ステップ 3.5

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3}))$

ステップ 3.5.2

$4$ を $x^{4} + 1$ の左に移動させます。

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (4 \cdot (x^{4} + 1) x^{3})$

ステップ 3.5.3

$4$ と $\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

ステップ 3.5.4

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

ステップ 3.5.5

$x^{3}$ と $\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

ステップ 3.5.6

$8$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{8 \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$ の因数を並べ替えます。

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$x^{4} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$x^{4} + 1$ を ${(x^{4} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 1}$

微分積分 例

微分積分例