微分積分例

$f (x) = \frac{8 (x - t)}{x^{2}}$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8 (x - t)}{x^{2}}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{x - t}{x^{2}}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x - t}{x^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x - t$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x - t$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$ です。

$8 \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- t]) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3.4

$- t$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- t$ の微分係数は $0$ です。

$8 \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$8 \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3.5.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$8 \frac{x^{2} - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \frac{x^{2} - (x - t) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 3.7

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$8 \frac{x^{2} - 2 (x - t) x}{x^{4}}$

ステップ 3.7.2

$x$ を $x^{2} - 2 (x - t) x$ で因数分解します。

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ステップ 3.7.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$8 \frac{x \cdot x - 2 (x - t) x}{x^{4}}$

ステップ 3.7.2.2

$x$ を $- 2 (x - t) x$ で因数分解します。

$8 \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - t))}{x^{4}}$

ステップ 3.7.2.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 2 (x - t))$ で因数分解します。

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x^{4}}$

ステップ 4

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 4.3

式を書き換えます。

$8 \frac{x - 2 (x - t)}{x^{3}}$

ステップ 5

$8$ と $\frac{x - 2 (x - t)}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{8 (x - 2 (x - t))}{x^{3}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 (x - 2 x - 2 (- t))}{x^{3}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x + 8 (- 2 x) + 8 (- 2 (- t))}{x^{3}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$- 2$ に $8$ をかけます。

$\frac{8 x - 16 x + 8 (- 2 (- t))}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{8 x - 16 x + 8 (2 t)}{x^{3}}$

ステップ 6.3.1.3

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{8 x - 16 x + 16 t}{x^{3}}$

ステップ 6.3.2

$8 x$ から $16 x$ を引きます。

$\frac{- 8 x + 16 t}{x^{3}}$

ステップ 6.4

項を並べ替えます。

$\frac{16 t - 8 x}{x^{3}}$

ステップ 6.5

$8$ を $16 t - 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.5.1

$8$ を $16 t$ で因数分解します。

$\frac{8 (2 t) - 8 x}{x^{3}}$

ステップ 6.5.2

$8$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{8 (2 t) + 8 (- x)}{x^{3}}$

ステップ 6.5.3

$8$ を $8 (2 t) + 8 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{8 (2 t - x)}{x^{3}}$

微分積分 例

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