微分積分例

$y = \cos (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})$

ステップ 1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}$ で置き換えます。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}]$

ステップ 2

$f (x) = 1 - e^{5 x}$ および $g (x) = 1 + e^{5 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{5 x}] - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 - e^{5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ です。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ をたし算します。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) \frac{d}{d x} [- e^{5 x}] - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{5 x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ です。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 5.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x} \cdot 1) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 5.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 5.5

総和則では、 $1 + e^{5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ です。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 5.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 5.7

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ をたし算します。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 6

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $5 x$ とします。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [5 x])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 6.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 6.3

$u_{3}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 7.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) (e^{5 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) (e^{5 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 7.4

分数をまとめます。

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ステップ 7.4.1

$e^{5 x}$ に $1$ をかけます。

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) e^{5 x}}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 7.4.2

$\frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) e^{5 x}}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$ と $\sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})$ をまとめます。

$- \frac{((1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{(1 (- 5 e^{5 x}) + e^{5 x} (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{(1 (- 5 e^{5 x}) + e^{5 x} (- 5 e^{5 x}) + (- 5 \cdot 1 - 5 (- e^{5 x})) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{(1 (- 5 e^{5 x}) + e^{5 x} (- 5 e^{5 x}) - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.4.1.1

$- 5 e^{5 x}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{(- 5 e^{5 x} + e^{5 x} (- 5 e^{5 x}) - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x} e^{5 x} - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4.1.3

指数を足して $e^{5 x}$ に $e^{5 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.3.1

$e^{5 x}$ を移動させます。

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 (e^{5 x} e^{5 x}) - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x + 5 x} - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4.1.3.3

$5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4.1.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4.1.5

指数を足して $e^{5 x}$ に $e^{5 x}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.5.1

$e^{5 x}$ を移動させます。

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} - 5 (- (e^{5 x} e^{5 x}))) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x + 5 x})) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4.1.5.3

$5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} - 5 (- e^{10 x})) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4.1.6

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} + 5 e^{10 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4.2

$- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} + 5 e^{10 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 8.4.2.1

$- 5 e^{10 x}$ と $5 e^{10 x}$ をたし算します。

$- \frac{(- 5 e^{5 x} + 0 - 5 e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4.2.2

$- 5 e^{5 x}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.4.3

$- 5 e^{5 x}$ から $5 e^{5 x}$ を引きます。

$- \frac{- 10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.5

項をまとめます。

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ステップ 8.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.5.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

ステップ 8.5.3

$\frac{10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例