微分積分例

$f (x) = \sqrt{18 x}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{18 x}]$ を $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{2 x}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

$18 x$ を $3^{2} \cdot (2 x)$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$9$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{9 (2) x}]$

ステップ 1.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3^{2} \cdot 2 x}]$

ステップ 1.1.3

括弧を付けます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3^{2} \cdot (2 x)}]$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{2 x}]$

ステップ 2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [3 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [3 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [3 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 3

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 9

分数の前に負数を移動させます。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 11

$3$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 12

$2^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}} (3 x^{- \frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 13

式を簡約します。

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ステップ 13.1

$3$ を $2^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 13.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $2^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 13.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 14.1

$2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 14.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{3}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{3}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{3}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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