微分積分例

$\int_{0}^{18} \sqrt{2 x} d x$

ステップ 1

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 18$

ステップ 1.5

$2$ に $18$ をかけます。

$u_{upper} = 36$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 36$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{36} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{36} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{36} \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{36} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{36}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$36$ および $0$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(6^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.4

$6$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 216 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.5

$\frac{2}{3}$ と $216$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 216}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.6

$2$ に $216$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{432}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.7

$432$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.7.1

$3$ を $432$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{144}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.7.2.4

$144$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.8

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.9

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 6.2.10

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 6.2.10.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 6.2.11

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

ステップ 6.2.12

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (144 + 0 (\frac{2}{3}))$

ステップ 6.2.13

$0$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (144 + 0)$

ステップ 6.2.14

$144$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot 144$

ステップ 6.2.15

$\frac{1}{2}$ と $144$ をまとめます。

$\frac{144}{2}$

ステップ 6.2.16

$144$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.16.1

$2$ を $144$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 72}{2}$

ステップ 6.2.16.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.16.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

ステップ 6.2.16.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.16.2.3

式を書き換えます。

$\frac{72}{1}$

ステップ 6.2.16.2.4

$72$ を $1$ で割ります。

$72$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例