微分積分例

$\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25} > 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$4 - 3 x - x^{2} = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$- 1$ を $4 - 3 x - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 2.1.1.1

$4$ を移動させます。

$- 3 x - x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.1.1.2

$- 3 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

ステップ 2.1.3

$- 1$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

ステップ 2.1.4

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (3 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

ステップ 2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 6

最終解は $- (x - 1) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 4$

ステップ 7

方程式の両辺に $25$ を足します。

$x^{2} = 25$

ステップ 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

ステップ 9

$\pm \sqrt{25}$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

ステップ 9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 5$

ステップ 10

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 10.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5$

ステップ 10.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5$

ステップ 10.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5, - 5$

ステップ 11

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 1, - 4$

$x = 5, - 5$

ステップ 12

解をまとめます。

$x = 1, - 4, 5, - 5$

ステップ 13

$\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25}$ の定義域を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 25 = 0$

ステップ 13.2

$x$ について解きます。

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ステップ 13.2.1

方程式の両辺に $25$ を足します。

$x^{2} = 25$

ステップ 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

ステップ 13.2.3

$\pm \sqrt{25}$ を簡約します。

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ステップ 13.2.3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

ステップ 13.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 5$

ステップ 13.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 13.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5$

ステップ 13.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5$

ステップ 13.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5, - 5$

ステップ 13.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 14

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 15

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 15.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 15.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\frac{4 - 3 \cdot - 8 - {(- 8)}^{2}}{{(- 8)}^{2} - 25} > 0$

ステップ 15.1.3

左辺 $- 0.\overline{923076}$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 15.2

区間 $- 5 < x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.2.1

区間 $- 5 < x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4.5$

ステップ 15.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4.5$ で置き換えます。

$\frac{4 - 3 \cdot - 4.5 - {(- 4.5)}^{2}}{{(- 4.5)}^{2} - 25} > 0$

ステップ 15.2.3

左辺 $0.57894736$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 15.3

区間 $- 4 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.3.1

区間 $- 4 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 15.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{4 - 3 \cdot 0 - {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 25} > 0$

ステップ 15.3.3

左辺 $- 0.16$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 15.4

区間 $1 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.4.1

区間 $1 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 15.4.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\frac{4 - 3 \cdot 3 - {(3)}^{2}}{{(3)}^{2} - 25} > 0$

ステップ 15.4.3

左辺 $0.875$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 15.5

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.5.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 15.5.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{4 - 3 \cdot 8 - {(8)}^{2}}{{(8)}^{2} - 25} > 0$

ステップ 15.5.3

左辺 $- 2.\overline{153846}$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 15.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 偽

$- 5 < x < - 4$ 真

$- 4 < x < 1$ 偽

$1 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

$x < - 5$ 偽

$- 5 < x < - 4$ 真

$- 4 < x < 1$ 偽

$1 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

ステップ 16

解はすべての真の区間からなります。

$- 5 < x < - 4$ または $1 < x < 5$

ステップ 17

不等式を区間記号に変換します。

$(- 5, - 4) \cup (1, 5)$

ステップ 18

微分積分 例

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