微分積分例

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 4 x + 5} < 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $- 3$ です。

$- 4, 1$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x + 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 6

最終解は $(x - 4) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 1$

ステップ 7

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 8

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 9.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.1.2.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.1.3

$16$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

ステップ 9.3

$\frac{4 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm i$

ステップ 10

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 10.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 10.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.1.2.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.1.3

$16$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

ステップ 10.3

$\frac{4 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm i$

ステップ 10.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 2 + i$

ステップ 11

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 11.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 11.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.1.2.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.1.3

$16$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 11.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

ステップ 11.3

$\frac{4 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm i$

ステップ 11.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 2 - i$

ステップ 12

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 2 + i, 2 - i$

ステップ 13

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 4, - 1$

$x = 2 + i, 2 - i$

ステップ 14

解をまとめます。

$x = 4, - 1$

ステップ 15

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 16

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 16.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 16.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 16.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 - 4}{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 5} < 0$

ステップ 16.1.3

左辺 $0.\overline{648}$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 16.2

区間 $- 1 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 16.2.1

区間 $- 1 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 16.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 5} < 0$

ステップ 16.2.3

左辺 $- 0.8$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 16.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 16.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 16.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 4}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 5} < 0$

ステップ 16.3.3

左辺 $0.82352941$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 16.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 17

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 < x < 4$

ステップ 18

不等式を区間記号に変換します。

$(- 1, 4)$

ステップ 19

微分積分 例

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