微分積分例

$f (x) = 6 x^{2}$

ステップ 1

$f (x) = 6 x^{2}$ を方程式で書きます。

$y = 6 x^{2}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 6 y^{2}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $6 y^{2} = x$ として書き換えます。

$6 y^{2} = x$

ステップ 3.2

$6 y^{2} = x$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$6 y^{2} = x$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 y^{2}}{6} = \frac{x}{6}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 y^{2}}{6} = \frac{x}{6}$

ステップ 3.2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{6}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{6}}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{\frac{x}{6}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\sqrt{\frac{x}{6}}$ を $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$

ステップ 3.4.2

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

ステップ 3.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

ステップ 3.4.3.2

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

ステップ 3.4.3.3

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

ステップ 3.4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

ステップ 3.4.3.6

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6^{1}}$

ステップ 3.4.3.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6}$

ステップ 3.4.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 6}}{6}$

ステップ 3.4.5

$\pm \frac{\sqrt{x \cdot 6}}{6}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ が $f (x) = 6 x^{2}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 6 x^{2}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = 6 x^{2}$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \infty)$

ステップ 5.3

$\frac{\sqrt{6 x}}{6}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{6 x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$6 x \geq 0$

ステップ 5.3.2

$6 x \geq 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$6 x \geq 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{0}{6}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{0}{6}$

ステップ 5.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{0}{6}$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$x \geq 0$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = 6 x^{2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ の定義域が $f (x) = 6 x^{2}$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ の範囲が $f (x) = 6 x^{2}$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ は $f (x) = 6 x^{2}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例