微分積分例

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$

ステップ 1

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ を方程式で書きます。

$y = 3 e^{2 x} + 1$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3 e^{2 y} + 1$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $3 e^{2 y} + 1 = x$ として書き換えます。

$3 e^{2 y} + 1 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 e^{2 y} = x - 1$

ステップ 3.3

$3 e^{2 y} = x - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3 e^{2 y} = x - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

$e^{2 y}$ を $1$ で割ります。

$e^{2 y} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{2 y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 3.5

左辺を展開します。

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ステップ 3.5.1

$2 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 y})$ を展開します。

$2 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 3.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$2 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 3.5.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 3.6

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

ステップ 3.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

ステップ 3.6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ が $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

ステップ 5.2.3

$\frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ に書き換えます。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$

ステップ 5.2.4

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ を簡約します。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.5

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.5.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.2.1

$3$ を $3 e^{2 x}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 (e^{2 x})) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.5.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.5.3

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.6

項を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.6.1

$e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.6.1.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1 - 1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.6.1.2

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{0}{3})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.6.1.3

$0$ を $3$ で割ります。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.6.1.4

$e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.6.2

${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

ステップ 5.2.6.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.2.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

ステップ 5.2.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

ステップ 5.2.6.2.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.2.7

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

ステップ 5.2.8

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

ステップ 5.2.9

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})} + 1$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

ステップ 5.3.3.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

ステップ 5.3.3.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{\ln (\frac{x - 1}{3})} + 1$

ステップ 5.3.3.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

ステップ 5.3.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

ステップ 5.3.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x - 1 + 1$

ステップ 5.3.4

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ は $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

微分積分 例

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