微分積分例

$f (x) = \frac{2}{3 x - 5}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{2}{3 x - 5}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{2}{3 x - 5}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{2}{3 y - 5}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{2}{3 y - 5} = x$ として書き換えます。

$\frac{2}{3 y - 5} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$3 y - 5, 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$3 y - 5, 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$3 y - 5$

ステップ 3.3

$\frac{2}{3 y - 5} = x$ の各項に $3 y - 5$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{2}{3 y - 5} = x$ の各項に $3 y - 5$ を掛けます。

$\frac{2}{3 y - 5} (3 y - 5) = x (3 y - 5)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$3 y - 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3 y - 5} (3 y - 5) = x (3 y - 5)$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$2 = x (3 y - 5)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$2 = x (3 y) + x \cdot - 5$

ステップ 3.3.3.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 = 3 x y + x \cdot - 5$

ステップ 3.3.3.2.2

$- 5$ を $x$ の左に移動させます。

$2 = 3 x y - 5 x$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式を $3 x y - 5 x = 2$ として書き換えます。

$3 x y - 5 x = 2$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $5 x$ を足します。

$3 x y = 2 + 5 x$

ステップ 3.4.3

$3 x y = 2 + 5 x$ の各項を $3 x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$3 x y = 2 + 5 x$ の各項を $3 x$ で割ります。

$\frac{3 x y}{3 x} = \frac{2}{3 x} + \frac{5 x}{3 x}$

ステップ 3.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x y}{3 x} = \frac{2}{3 x} + \frac{5 x}{3 x}$

ステップ 3.4.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y}{x} = \frac{2}{3 x} + \frac{5 x}{3 x}$

ステップ 3.4.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{2}{3 x} + \frac{5 x}{3 x}$

ステップ 3.4.3.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2}{3 x} + \frac{5 x}{3 x}$

ステップ 3.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{2}{3 x} + \frac{5 x}{3 x}$

ステップ 3.4.3.3.1.2

式を書き換えます。

$y = \frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}$ が $f (x) = \frac{2}{3 x - 5}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5}) = \frac{2}{3 (\frac{2}{3 x - 5})} + \frac{5}{3}$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$3$ と $\frac{2}{3 x - 5}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5}) = \frac{2}{\frac{3 \cdot 2}{3 x - 5}} + \frac{5}{3}$

ステップ 5.2.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5}) = \frac{2}{\frac{6}{3 x - 5}} + \frac{5}{3}$

ステップ 5.2.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5}) = 2 (\frac{3 x - 5}{6}) + \frac{5}{3}$

ステップ 5.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5}) = 2 (\frac{3 x - 5}{2 (3)}) + \frac{5}{3}$

ステップ 5.2.3.4.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5}) = 2 (\frac{3 x - 5}{2 \cdot 3}) + \frac{5}{3}$

ステップ 5.2.3.4.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5}) = \frac{3 x - 5}{3} + \frac{5}{3}$

ステップ 5.2.4

項を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5}) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

ステップ 5.2.4.2

$3 x - 5 + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5}) = \frac{3 x + 0}{3}$

ステップ 5.2.4.2.2

$3 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5}) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 5.2.4.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5}) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 5.2.4.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x - 5}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3})$ の値を求めます。

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) = \frac{2}{3 (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) - 5}$

ステップ 5.3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) = \frac{2}{3 (\frac{2}{3 x}) + 3 (\frac{5}{3}) - 5}$

ステップ 5.3.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) = \frac{2}{3 (\frac{2}{3 (x)}) + 3 (\frac{5}{3}) - 5}$

ステップ 5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) = \frac{2}{3 (\frac{2}{3 x}) + 3 (\frac{5}{3}) - 5}$

ステップ 5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 3 (\frac{5}{3}) - 5}$

ステップ 5.3.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 3 (\frac{5}{3}) - 5}$

ステップ 5.3.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 5 - 5}$

ステップ 5.3.3.4

$5$ から $5$ を引きます。

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 0}$

ステップ 5.3.3.5

$\frac{2}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

ステップ 5.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

ステップ 5.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

ステップ 5.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}$ は $f (x) = \frac{2}{3 x - 5}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{5}{3}$

微分積分 例

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