微分積分例

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$ として書き換えます。

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$

ステップ 3.2

両辺に $1 - e^{y}$ を掛けます。

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$1 - e^{y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

ステップ 3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$1 + e^{y} = x (1 - e^{y})$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$x (1 - e^{y})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$1 + e^{y} = x \cdot 1 + x (- e^{y})$

ステップ 3.3.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$1 + e^{y} = x + x (- e^{y})$

ステップ 3.3.2.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 + e^{y} = x - x e^{y}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺に $x e^{y}$ を足します。

$1 + e^{y} + x e^{y} = x$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$e^{y} + x e^{y} = x - 1$

ステップ 3.4.3

$e^{y}$ を $e^{y} + x e^{y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$1$ を掛けます。

$e^{y} \cdot 1 + x e^{y} = x - 1$

ステップ 3.4.3.2

$e^{y}$ を $x e^{y}$ で因数分解します。

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x = x - 1$

ステップ 3.4.3.3

$e^{y}$ を $e^{y} \cdot 1 + e^{y} x$ で因数分解します。

$e^{y} (1 + x) = x - 1$

ステップ 3.4.4

$e^{y} (1 + x) = x - 1$ の各項を $1 + x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$e^{y} (1 + x) = x - 1$ の各項を $1 + x$ で割ります。

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$e^{y}$ を $1$ で割ります。

$e^{y} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

ステップ 3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$e^{y} = \frac{x - 1}{1 + x}$

ステップ 3.4.5

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

ステップ 3.4.6

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

ステップ 3.4.6.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

ステップ 3.4.6.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ が $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

ステップ 5.2.3

括弧を削除します。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

ステップ 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - e^{x}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}}$ に $\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}}$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

ステップ 5.2.4.2

まとめる。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1)}{(1 - e^{x}) (1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

ステップ 5.2.5

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

ステップ 5.2.6

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$1 - e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

ステップ 5.2.6.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

ステップ 5.2.6.2

$1 - e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

ステップ 5.2.6.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

ステップ 5.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + 1 \cdot - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

ステップ 5.2.7.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

ステップ 5.2.7.3

$- e^{x} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + 1 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

ステップ 5.2.7.3.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

ステップ 5.2.7.4

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{0 + e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

ステップ 5.2.7.5

$0$ と $e^{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

ステップ 5.2.7.6

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

ステップ 5.2.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

$1 - e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 - e^{x} + 1 + e^{x}})$

ステップ 5.2.8.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 - e^{x} + e^{x}})$

ステップ 5.2.8.3

$- e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 + 0})$

ステップ 5.2.8.4

$2$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

ステップ 5.2.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.9.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

ステップ 5.2.9.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.2.10

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \ln (e)$

ステップ 5.2.11

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \cdot 1$

ステップ 5.2.12

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x}))$ の値を求めます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.4

項を並べ替えます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.5

因数分解した形で $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

$x$ と $x$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.5.2

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.3.5.3

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}$

ステップ 5.3.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}$

ステップ 5.3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}$

ステップ 5.3.4.4

項を並べ替えます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}$

ステップ 5.3.4.5

因数分解した形で $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1

分配則を当てはめます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

ステップ 5.3.4.5.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

ステップ 5.3.4.5.3

$x$ から $x$ を引きます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

ステップ 5.3.4.5.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

ステップ 5.3.4.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

ステップ 5.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

ステップ 5.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

ステップ 5.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

ステップ 5.3.6.3

式を書き換えます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

ステップ 5.3.7

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

ステップ 5.3.7.2

式を書き換えます。

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ は $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

微分積分 例

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